L’élaboration d’un plan de navigation requiert de calculer la distance et le cap de chacun des segments qui le compose. Si on travaille avec une application de navigation électronique, ces calculs sont faits automatiquement. Si on travaille avec des cartes en papier, les caps et les distances se mesurent d’ordinaire à l’aide d’une règle et d’un compas.
Ce texte enseigne comment utiliser la trigonométrie planaire – celle apprise à la petite école – pour faire ces calculs par approximation. L’approche requiert de connaître la trigonométrie et les calculs usuels de conversion d’angle. Si ces mathématiques vous sont inconnus, il est peut-être préférable de rester aux techniques sur carte. Autrement, l’approche est utile pour calculer les positions sans recours aux cartes.
Une approximation?
La sphère terrestre n’est pas un plan. Pour le calcul de longs segments, la trigonométrie sphérique est requise. Cependant, pour des segments de route inférieurs à 300 milles nautiques, le plan de navigation est presque planaire, si bien qu’on peut l’approximer par la technique ci-dessous.
Conventions et approximations
Je note L_D, L_A, G_D, G_A respectivement la latitude de départ, la latitude d’arrivée, la longitude de départ et la longitude d’arrivée. La différence de latitude (L_A - L_D) sera notée par \ell et la différence de longitude (G_A - G_D) sera notée par g.
Pour faire les calculs, la latitude moyenne, notée L_m = \frac{L_D + L_A}{2} est utile. L’approximation consiste à présumer que le triangle planaire sur lequel on travaille a une différence de longitude égale à la longueur du segment horizontal à la longitude moyenne, soit g \cos(L_M). La hauteur du triangle est quant à elle égale à la différence de latitude (\ell). L’approximation est détaillée dans l’image ci-dessous. On peut alors utiliser la trigonométrie standard pour déterminer la longueur de la route (l’hypothénuse) et la route vraie (qui dépend de l’angle qui sous tend la route).
Si on note m la distance du segment de route et \phi l’angle à partir du parallèle de départ, on peut utiliser la trigonométrie standard pour obtenir les informations qui nous intéressent.
\begin{align}
\phi &= \arctan\left(\frac{\ell}{g\cos(L_M)}\right),\\
m&= \frac{\ell}{\sin(\phi)}.
\end{align}Un exemple
Vous quittez l’Île d’entrée (aux Îles de la Madeleine) à la coordonnée (47° 15′ 10.13 »N, 061° 45′ 06.06 » W) pour vous rendre à la pointe est de l’Ile du Prince Édouard à la coordonnée (46° 26′ 41.86 » N, 061° 55′ 37.94 » W). Quelle est votre route sur le fond et la distance parcourue?
Solution:
- L’écart de longitude g est de 0° 10′ 31.88 » (61 55′ 37.94 » – 061° 45′ 06.06 ») vers l’ouest.
- L’écart de latitude \ell est de 0° 48′ 28.27 » (46° 26′ 41.86 »- 47° 15′ 10.13 ») vers le sud.
- Ces deux informations permettent de tracer un triangle approximant notre route (ci-dessous).
- La latitude moyenne est de 46° 50′ 56 »N.
- Conséquemment, la base du triangle est 7′ 12.1584 » (\approx g\cos(L_m)).
- De même, l’angle \phi est approximativement 81.5° (\approx \arctan(\ell \over g \cos(L_m)).
- De cet angle, on peut déduire la route vraie par la somme R_v = 180° + (90° - \phi), soit 188° 30′.
- Finalement, on peut calculer la distance m en calculant l’hypothénuse, soit 0° 49′ 0.5696 » (\approx \ell \over \sin(\phi)). Comme il y a un mille nautique par minute d’arc, on obtient 49.0 milles nautiques.
Pour fins de navigation, la différence entre les résultats de trigonométrie sphérique et ceux approximés sont négligeables.
Conclusion
L’approche fonctionne pour à peu près tout segment dont la distance (m) est inférieure à 300 milles nautiques. La seule subtilité est la conversion de l’angle \phi en route vraie, ce qu’on peut déduire en trouvant la relation entre l’angle calculé du triangle et le nord. Pour le reste, il faut simplement se rappeler qu’on approxime la base du triangle par l’écart de longitude à la latitude moyenne.
Ce texte vous a plu? Vous pouvez en apprendre davantage dans la section apprendre.
