Calculer un long segment de route

Lors de la planification de passages, il faut calculer la distance de chacun des segments qui composent la route. Si on travaille avec des cartes électroniques, les ordinateurs de bord font ces calculs automatiquement pour nous. Si on travaille avec des cartes en papier, on fait d’ordinaire ces calculs à l’aide de la règle et du compas.

Pour de petits segments, nous avons vu comment faire ces calculs à l’aide de la trigonométrie planaire. Cette méthode repose sur une approximation qui n’est valide que si la longueur du segment est inférieure à 300 milles nautiques.

Ce texte, plus avancé, présente la méthode pour des segments de route de n’importe quelle longueur. Elle requiert cependant l’usage des fonctions trigonométriques, du logarithme naturel (et de la notion d’intégrale). Si ces mathématiques vous sont inconnus, il est alors préférable de rester à la règle et au compas.

Calcul des angles et projection de Mercator

Il est impossible de convertir la surface d’une sphère en rectangle plane sans en déformer la surface. Conséquemment, il est impossible de créer une carte marine sans déformer soit les angles, soit les surfaces. Les cartes marines sont généralement conçues pour déformer les surfaces, mais pour préserver les angles. C’est notamment le cas de la projection de Mercator. Cette projection est appuyée sur la transformation mathématique suivante:

d\ell = \frac{1}{\cos(L)}dL,

où L est la latitude et \ell est la représentation de la latitude sur la carte, nommée la latitude croissante. Cette expression signifie que pour préserver les angles, on doit étirer une partie de latitude (dL) par un facteur égal à la réduction de la taille du parallèle associé (1/\cos(L)). On peut résoudre cette projection en prenant l’intégrale de l’expression pour trouver:

\ell = \int \frac{1}{\cos(L)}dL = \frac{180}{\pi}\ln\left(\tan\left(\frac{L}{2}+45\right)\right) + C,

où L la latitude et la latitude croissante (\ell) est calculée en degrés. On peut utiliser cette expression pour calculer les angles de route sur de longs trajets. Sur une carte, la longueur corrigée permettant de calculer le cap approprié est donné par la différence de latitude croissante:

\ell_c \equiv \ell_a - \ell_d = \frac{180}{\pi}\left[\ln\left(\tan\left(\frac{L_a}{2}+45\right)\right)-\ln\left(\tan\left(\frac{L_d}{2}+45\right)\right)\right]

L’angle qui sous-tend le trajet est alors donné par l’arc-tangente entre la différence de longitude à la différence de latitude croissante:

\theta = \arctan\left(\frac{g}{\ell_c}\right)

où g\equiv G_a - G_d est la différence de longitude. La longueur de la route sera ensuite donné par 60(L_d-L_A)/\cos(\theta)(exprimée en milles nautiques).

Première application

La première application consiste à identifier, à partir d’un point d’arrivée et de départ, la route fond et la distance. Un exemple est fourni ci-dessous.

Vous planifiez quitter Glace Bay, en Nouvelle Écosse, pour vous rendre à St-Pierre et Miquelon (France). Les coordonnées de départ et d’arrivée sont indiquées dans le tableau ci-dessous. Identifiez votre route fond ainsi que la distance parcourue.

Solution

La latitude croissante au départ est donnée par:

\begin{align*}
\ell_d &=  \frac{180}{\pi}\ln\left(\tan\left(\frac{L_d}{2}+45\right)\right),\\
&\approx \frac{180}{\pi}\ln\left(\tan\left(\frac{46.2015778}{2}+45\right)\right),\\
&\approx 52° 12' 59.04''. 
\end{align*}

La latitude croissante à l’arrivée est donnée par:

\begin{align*}
\ell_a &=  \frac{180}{\pi}\ln\left(\tan\left(\frac{L_a}{2}+45\right)\right),\\
&\approx \frac{180}{\pi}\ln\left(\tan\left(\frac{46.745111}{2}+45\right)\right),\\
&\approx 53° 0' 20.55''. 
\end{align*}

La différence de latitude croissance est donnée par:

\ell_c = \ell_a - \ell_d = 0° 47'  21.511''.

Conséquemment, l’angle qui sous-tend la route est donnée par:

\theta = \arctan((3° 44' 23.2'')/(0° 47'  21.511'')) \approx N 78° 4' 55.89'' E

Signifiant une route fond au (environ) 078°. On peut alors calculer la distance à parcourir par:

m = 60\frac{L_a-L_d}{\cos(\theta)} \approx (0° 32' 36.9'')/ \cos(78° 4' 55.89'') \approx 157.94,

ou environ 158 milles nautiques.

Deuxième application

La deuxième application est de calculer les coordonnées géographiques d’arrivée à partir d’un point de départ, d’une route et d’une distance parcourue. Un exemple est fourni ci-dessous.

Vous quittez St-Pierre et Miquelon (46° 45′ 08.73 » N / 056° 11′ 59.49 » W) et naviguez sur la route fond au 246° pendant 450 milles nautiques.

Quelle est votre position à la fin de ce voyage?

Solution

L’angle qui sous-tend la route est N66°W. Comme on se déplace vers le sud et vers l’ouest, on sait également notre latitude sera plus petite et que notre longitude ouest sera plus grande. L’écart de latitude doit satisfaire:

\begin{align*}
450 &= 60\frac{L_a-L_d}{\cos(66)},\\
\Rightarrow L_a -L_d &= \frac{450}{60}\cos(66) \approx 3° 3' 1.88''.
\end{align*}

Comme on se déplace vers le sud, cette différence doit être soustraite de la latitude de départ, ce qui donne une latitude d’arrivée de 43° 42′ 6.84 »N.

On peut maintenant calculer la latitude croissante:

De là, on peut déduire la longitude d’arrivée, car on sait que:

g = \tan(66)\ell_c \approx 9° 43' 54.284'',

Considérant qu’on va vers l’ouest, on doit ajouter cette différence à la longitude de départ pour obtenir: 65° 55′ 53.77 ».

Conclusion

Les formules présentées ci-dessus permettent d’automatiser le calcul de segments de route. Ils fonctionnent également pour toute distance. Ils s’appuient sur l’idée que la route empruntée à un cap constant. Ces routes sont nommées des loxodromes.

Il convient de rappeler que les loxodromes ne sont pas les chemins les plus courts entre deux points. Sur une sphère, les routes à distance minimale sont des grands cercles. Ainsi, même si les formules ci-dessus fourniront une bonne réponse pour de longues distances, il est peut-être préférable de travailler avec des grands cercles. Ils viendront cependant avec des changements de caps à intervalles réguliers.